Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Tiên Du (Có đáp án)

Nội dung tài liệu: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Tiên Du (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN TIÊN DU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn thi: TOÁN 9 – BẢNG A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 08/4/2021 Câu 1. (4,0điểm) x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: P : . Với x 0, x 1. x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tìm x để P . 7 c) So sánh: P2 và 2P. Câu 2. (4,0điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: y = 2mx + 5 m 0 . Tìm điều kiện của m để đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. x 5 y 4 xy x 5 y 12 xy 2. Giải hệ phương trình: Câu 3. (5,0 điểm) 1 1 1 1 1. Cho A . Chứng minh A <2. 1 5 5 9 9 13 21 25 2. Tínhgiátrịcủabiểuthức A x3 y3 3 x y , biếtrằng x 3 3 2 2 3 3 2 2 và y 3 17 12 2 3 17 12 2 . 4 5 3. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn + 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x2 y2 thức: 6 8 Q = 2x2 + + 3y2 + . x2 y2 Câu 4. (6,0điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C là các tiếp điểm. Kẻ một đường thẳng d nằm giữa hai tia AB, AO và đi qua A cắt đường tròn (O) tại E, F ( E nằm giữa A, F). 1) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. 2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minhOH.OA OE2. 3) Đường thẳng qua O vuông góc với EF cắt BC tại S. Chứng minh SF là tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 5. (1 điểm) Cho tam giác ABC cóµA 200 ;Cµ 300 . Điểm K nằm trong tam giác sao cho K· AC K· CA 100 . Tính góc BKC .
2. UBND HUYỆN TIÊN DU HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN BẢNG A TẠO NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.(4,0 điểm) Điều kiện: x 0, x 1. x 2 x 1 x 1 P : x x 1 x x 1 1 x 2 0,5 x 2 x 1 x 1 : 3 x 1 x x 1 x 1 2 0,5 x 2 x( x 1) (x x 1) x 1 : x 1 x x 1 2 x 2 x 1 2 . 0,5 x 1 x x 1 x 1 2 0,5 x x 1 Với x 0, x 1. Ta có: 2 P 7 2 2 0.25 x x 1 7 x x 1 7 x x 6 0 0,25 ( x 2)( x 3) 0 Vì x 3 0 nên x 2 0 x 4(t/m) 0,25 2 Vậy P = khi x = 4 7 0,25 Vì x 0 x x 1 1 0,25 2 0 2 x x 1 0,25 0 P 2 P2 2P
3. Dấu “=” xảy ra khi P = 2 x = 0 0,25 2 Vậy P 2P 0,25 2.1. (1,5điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét đường thẳng d: y = 2mx+ 5 m 0 0,25 Gọi giao điểm của d với các trục Ox, Oy lần lượt là các điểm B, A. + Cho x = 0 y 5. Ta đượcđiểm A 0;5 OA 5 0,25 5 5 5 5 0,25 + Cho y = 0 x . Ta đượcđiểm B ;0 OB 2m 2m 2m 2m Theo bài ra OAB vuôngcântại O nên ta có: 5 OA OB 5 2m 1 2m 1 m 2 t / m 0,5 1 m 2 1 Vậy m = . 2 0,25 2.2. (1,5điểm) x 5 y 4 xy xy 4x 5y 20 xy 4x 5y 20 0,75 x 5 y 12 xy xy 12x 5y 60 xy 12x 5y 60 8x 80 x 20 0,5 4x 5y 20 y 20 Vậy HPT có nghiệm (x, y) = (20; 20). 0,25 3.1. (2,0 điểm) 1 1 1 1 A 1 5 5 9 9 13 21 25 5 1 9 5 13 9 25 21 5 1 9 5 13 9 25 21 0,75 5 1 9 5 13 9 25 21 4 4 4 4 0,75 25 1 4 1 Mà 1 < 2 nên A < 2. 0,5 Vậy ta có ĐPCM. 3.2. (1,75 điểm)
4. +Đặt a 3 3 2 2;b 3 3 2 2 x a b ,khi đó : 3 x3 a b a3 b3 3ab a b 3 2 2 3 2 2 33 3 2 2 3 2 2 .x 0,75 x3 6 3x x3 3x 6 (1) +Đặt c 3 17 12 2;d 3 17 12 2 y c d ,khi đó : 3 y3 c d c3 d3 3cd c d 17 12 2 17 12 2 33 17 12 2 17 12 2 .y 0,75 y3 34 3y y3 3y 34 (2) Từ (1) và (2) suy ra A = x3 y3 3 x y = x3 y3 3x 3y 6 34 40 . 0,25 3.3. (1,25 điểm) 6 8 Ta có Q = 2x2 + + 3y2 + x2 y2 2 3 4 5 = 2x2 + + 3y2 + + + x2 y2 x2 y2 1 1 4 5 = 2 x2 + +3 y2 + + + 2 2 2 2 0,25 x y x y Ta có 1 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x =1 x =1 ( Vì x > 0) 2 x + 2 2.2 4 x 0,25 2 1 2 3 y + 2 3.2 6 . Dấu “=” xảy ra khi y =1 y=1 ( Vì y > 0) y 0,25 4 5 + 9 (gt). Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. 0,25 x2 y2 Q 4 6 9 = 19 Vậy giá trị nhỏ nhấtcủa Q là 19 khi x y =1 0,25 4.a (2,5 điểm) S B F I E 0,5 A H O C Vẽ hình và ghi GT – KL đủ.
5. + AB, AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O), tiếp điểm lần lượt là A, B (1) AB  OB ·ABO 900 1,0 AC OC · 0  ACO 90 + Xéttứgiác ABOC có: ·ABO ·ACO 1800 . Mà B và C là hai đỉnh đối nhau nên tứ giác 1,0 ABOC nội tiếp hay bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. 4.b (2,0 điểm) + Từ (1) AB AC ; Mà B,C O OB OC Do đó: AO là đường trung trực của BC 1,0 Lạicó AO  BC H BH  AO. + Xét ABO có ·ABO 900 ; BH  AO OB2 OH.OA (Hệthức lượng trong tam giác vuông) Mà OB = OE (do B, E O ) 2 OE OH.OA. 1,0 4.c (2,5 điểm) Gọi I là giao điểm của OS và EF. + Xét OHS và OIA có: O· HS O· IA 900 ; ·AOS chung OH OS OHS : OIA g.g OH.OA OI.OS 0,75 OI OA OF OS MàOE 2 OH.OA cmt ;OE OF E; F O OF 2 OI.OS 0,5 OI OF OF OS + Xét OIF và OFS có I·OF chung; OI OF OIF : OFS c.g.c O· FS O· IF 0,75 MặtkhácO· IF 900 O· FS 900 OF  SF ; do F O SF làtiếptuyến của (O). 0,5 5. (1,0 điểm) B K A C O Vẽ (O) ngoạitiếp tam giác ABC thì ·AOC =1000và ·AOB =600nên tam giác 0,5 OAB đều . Do AK = KC nên OK vuônggócvới AC và K· AO = K· OA = 500 0,25 suy ra AK =KO nên BKA BKO c.c.c BK làphângiáccủa ·ABO K· BA 300 ·AKB 1400 B· CK 600 (do ·AKC 1600 ) 0,25
6. Vậy B· CK 600. Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết