Sáng kiến kinh nghiệm Luyện bài tập về hệ thức Vi-ét

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Luyện bài tập về hệ thức Vi-ét

1. BÁO CÁO SÁNG KIẾN I) ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Toán học là môn khoa học tự nhiên tạo nhiều hứng thú cho học sinh, nó là môn học rất quan trọng không thể thiếu trong quá trình học tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng ngày. Một nhà toán học nổi tiếng đã nói: “Toán học được xem là một khoa học chứng minh”; Nhưng đó chỉ là một khía cạnh, toán học phải được trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh. Muốn vậy người học phải nắm vững các kiến thức toán học từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát, dự đoán phối hợp và sáng tạo, phải tự lực tiếp thu kiến thức qua hoạt động đích thực của bản thân; Ngày nay học sinh luôn được tiếp cận với nhiều kiến thức khoa học tiên tiến, với nhiều môn học mới lại đầy hấp dẫn nhằm hoàn thiện và bắt kịp công cuộc đổi mới, phát triển toàn diện của đất nước. Trong các môn học ở trường phổ thông, toán học được xem là môn học cơ bản, là nền tảng để các em phát huy năng lực của bản thân trong việc tiếp thu và học tập các môn khoa học khác. Tuy nhiên để học sinh học tập tốt môn Toán thì giáo viên phải cung cấp đầy đủ lượng kiến thức cần thiết, cần đổi mới các phương pháp dạy học, làm cho các em trở nên yêu thích toán học hơn, vì thế là một giáo viên dạy Toán ở trường THCS chúng tôi luôn suy nghĩ làm sao để truyền đạt kiến thức đến các em một cách đơn giản, dễ hiểu mà các em có thể lĩnh hội kiến thức cơ bản một cách vững vàng và dễ dàng, tạo điều kiện cho các em yêu thích môn Toán, tránh cho các em có suy nghĩ môn toán là khó và khô khan; Là những giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, chúng tôi đều thực hiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức. Khi dạy về hệ thức Vi-ét chúng tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống. Như vậy kết quả bài làm của các em không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào trường THPT đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi- ét. Chính vì thế, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, các tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét. Sau đó đã tiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó. Từ cách nghĩ và cách làm đó chúng tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Luyện bài tập về hệ thức Vi Ét” với mục đích khi các em gặp dạng toán đó không còn sợ sệt mà trở nên thích thú, ham muốn giải khi gặp dạng toán đó nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy. II) MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1) Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
2. 2 1.1) Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2022- 2023 chúng tôi đã được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn Toán 9. Qua thực tế dạy và thông qua các kì thi khảo sát chất lượng cuối năm và kì thi tuyển sinh vào THPT chúng tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kĩ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập vận dụng hệ thức Vi ét. Vì lí do đó để giải được các dạng bài tập này cần phải có kĩ năng phân dạng và có cách giải cụ thể cho từng dạng; Cụ thể kết quả kiểm tra dạng toán vận dụng hệ thức vi ét vào giải toán ở hai lớp 9A, 9B , 9C vào tháng 3 năm học 2022- 2023 được thống kê như sau: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu ( kém) SL % SL % SL % SL % 9A 35 3 8,6 8 32 11 44 13 37,1 9B 36 3 8,3 7 19,4 11 30,1 14 38,9 9C 36 4 11,1 8 22,2 10 27,8 14 38,9 1.2) Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Thông qua kết quả khảo sát chúng tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán về vận dụng hệ thức Vi ét. Chúng tôi mạnh dạn nêu ra một số dạng bài toán vận dụng hệ thức vi ét và cách giải cho từng dạng toán đó. 2) Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến: 2.1) Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của sáng kiến - Giới hạn nghiên cứu: Khi áp dụng phương pháp hướng dẫn học sinh trong việc “Luyện bài tập về hệ thức Vi Ét” sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức bài học, từ đó phân loại và giải các bài toán một cách khoa học, chính xác. Kết quả học tập của học sinh được nâng cao rõ rệt, tạo cho học sinh sự say mê hứng thú trong học tập cũng như kích thích khả năng tìm tòi, học hỏi của học sinh. Học sinh sẽ chủ động lĩnh hội kiến thức bài học, giảm áp lực trong học tập của các em. Sáng kiến được áp dụng cho năm học 2023 – 2024. - Phạm vi thời gian: Không gian: Lớp 9A,B,C trường THCS Nguyễn Phúc – Vụ Bản – Nam Định. Thời gian thực hiện: Từ ngày 01 tháng 3 năm học 2023 đến ngày 18 tháng 4 năm 2024. - Đối tượng nghiên cứu: Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến. Học sinh có đầy đủ SGK, SBT và nắm vững định lí Vi-ét; Chúng tôi đã áp dụng sáng kiến này từ tháng 3 năm 2024 vào việc dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9A, 9B, 9C THCS Nguyễn Phúc – Vụ Bản – Nam Định kiểm tra khảo sát cuối năm và thi vào THPT năm học 2023-2024. 2.2) Mục đích của sáng kiến
3. 3 Nhằm giải đáp những vướng mắc khi giải “Luyện bài tập về hệ thức Vi Ét” cho học sinh một cách lô gíc và có khoa học. 2.3) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận; - Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp là giáo viên chủ nhiệm của khối 9 để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp; - Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi; - Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài; - Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh; - Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh. 2.4) Nội dung nghiên cứu a) Thực trạng của nội dung nghiên cứu *) Cơ sở lý luận Như đã nói ở trên, loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là một bài toán khó và có nhiều dạng toán. Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần: - Xác định đúng các hệ số a, b (hoặc b’), c; - Tính đúng (hoặc '); - Biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm; - Vận dụng hệ thức Vi-ét. *) Cơ sở thực tiễn - Thuận lợi, khó khăn: + Đối với giáo viên Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét. Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT. Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học.
4. 4 + Đối với học sinh Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi – ét trong các kì thi tuyển sinh vào trường THPT. + Nguyên nhân . Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng; . Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập. b) Nội dung sáng kiến *) Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề +) Ôn tập lí thuyết - Định lí Vi-ét (thuận) 2 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax + bx + c = 0 (a 0 ) thì b x x 1 2 a c x x 1 2 a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia. • Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . a • Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . a - Định lí Vi-ét (đảo) u v S Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình u.v P x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P 0) *) Các dạng toán và phương pháp giải. Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
5. 5 +) Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra a 0, 0 ' 0 có thỏa mãn không). +) Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình: a) 2x2 - 17x + 1 = 0 b) 25x2 + 10x + 1 = 0 Giải a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1) 2 Ta có: 17 4.2.1 281 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt b 17 c 1 x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x , x .x . 1 2 a 2 1 2 a 2 b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1) 2 Ta có: ' 5 25.1 0 Phương trình có hai nghiệm x1, x2. b 10 2 c 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x x , x .x . 1 2 a 25 5 1 2 a 25 +) Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m: x2 + 2 m 1 x + m2 = 0 Giải x2 + 2 m 1 x + m2 = 0 (a = 1 0, b’ = m-12, c = m). Ta có: ' m 1 2 1.m2 m2 2m 1 m2 1 2m . 1 Để phương trình có nghiệm ' 0 1 2m 0 m . 2 1 Vậy với m , phương trình có hai nghiệm x1, x2. 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2 m 1 c m2 x x 2 1 m , x .x m2 . 1 2 a 1 1 2 a 1 Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. +) Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau: Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt)
6. 6 - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = ; a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương trình có c một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - ; a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0. Ta thực hiện theo các bước: - Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là b x x 1 2 a c x .x 1 2 a - Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính ngay được m + n. Khi đó: . Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận); . Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2. - Bước 3: Kết luận: 2 Phương trình x + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n.  Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau: b - Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = thì dừng lại và a đưa ra lời kết luận nghiệm; b - Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = thì dừng a lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm. +) Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a) 35x2 - 37x + 2 = 0 b) x2 - 49x - 50 = 0 c) x2 + 6x + 8 = 0 Giải a) 35x2 - 37x + 2 = 0 Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình có c 2 một nghiệm là x1 = 1, x2 = . a 35 b) x2 - 49x - 50 = 0
7. 7 Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình c 50 có một nghiệm là x1 = - 1, x2 = - 50. a 1 c) x2 + 6x + 8 = 0 2 Ta thấy ' 3 1.8 1 0. Do đó phương trình có hai nghiệm x 1 và x2 thỏa x1 x2 6 x1 x2 ( 2) ( 4) mãn x1.x2 8 x1.x2 ( 2).( 4) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4. Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm. +) Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) cho biết một nghiệm x1 = m. Tìm nghiệm còn lại x2 ? b Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x x = . Thay x1 = m vào hệ thức, ta 1 2 a b b c có x x m hoặc ta dùng hệ thức x .x . Thay x1 = m 2 a 1 a 1 2 a c c vào hệ thức, ta có x2 : x1 : m . a a +) Ví dụ: a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x 2 + 2x - 21 = 0 (1) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia. 2 1 b) Biết phương trình: 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0 (2) có nghiệm x1 = tìm nghiệm 3 x2, giá trị của m tương ứng. Giải 2 a)Vì x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x + 2x - 21 = 0. (1) Thay x=-3 vào phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0. (1) ta được 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0.  0=0 (luôn đúng) 2 Vậy x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x + 2x - 21 = 0. (1) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
8. 8 b 2 2 2 2 7 x x = = x x 3 3 . 1 2 a 3 2 3 1 3 3 3 b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0. 2 1 Vì phương trình: 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0 (2) có nghiệm x1 = 3 c 5 1 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x .x . Mà x1 = nên suy ra: 1 2 a 3 3 5 5 1 x : x : 5. 2 3 1 3 3 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: b 2 m 3 1 2 m 3 x x = = 5 16 2m 6 m 11. 1 2 a 3 3 3 Vậy x2 = 5, m = 11. Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng. +) Phương pháp: u v S Nếu hai số u, v thỏa mãn u.v P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1) 2  Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x 1, x2 (điều kiện S - 4P 0) thì ta được: u x1 u x2 hoặc . v x2 v x1 +) Ví dụ : Tìm hai số u và v biết: u + v = 32, u.v = 231; Giải Ta có u + v = 32, u.v = 231. Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0. 32 2 4.231 100 0 100 10 32 10 32 10 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 21; x 11. 1 2 2 2 Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
9. 9 Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình. +) Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2. Ta thực hiện theo các bước: - Bước 1: Xét biệt thức b2 4ac 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc ' 0); - Bước 2: Tìm tổng x 1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào biểu thức. Chú ý: Một số phép biến đổi: 2 2 2 2 (1). x1 x2 x1 x2 2x1x2 S 2P; 3 3 3 3 (2). x1 x2 x1 x2 3x1x2 x1 x2 S 3SP; 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3). x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 x1x2 S 2P 2P ; 1 1 x x S (4). 1 2 ; x1 x2 x1x2 P 1 1 x2 x2 S2 2P (5). 1 2 . x2 x2 2 P2 1 2 x1x2 +) Ví dụ . Cho phương trình x 2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức: 2 2 1 1 2 2 a) A = x1 x2 ; b) B = ; c) C= x1 x2 x1 x2 Giải Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có ' 3 2 1.8 9 8 1 0 phương trình S x1 x2 6 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: P x1x2 8 2 2 2 2 2 a) A = x1 x2 = x1 x2 2x1x2 S 2P = 6 – 2.8 = 36 – 16 = 20. Vậy A = 20 1 1 x x S 6 3 3 b) B = 1 2 . Vậy B = x1 x2 x1x2 P 8 4 4 2 2 c) C = x1 x2 x1 x2 x1 x2 S. x1 x2 6. x1 x2 . Mà ta có:
10. 10 2 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2x1x2 x1 x2 4x1x2 S 4P 6 4.8 4 x1 x2 2 Vậy C = 12. Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số. +) Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0, 0 hoặc a 0, ' 0). Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số. Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. +) Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Giải Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: ' m2 2m 2 m 1 2 1 0 với mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. S x1 x2 2m (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: . P x1x2 2m 2 (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m). +) Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. Giải 2 Phương trình mx – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m 0 m 0 m 0 m 0 . 2 9 0 2m 3 4m m 4 0 28m 9 0 m 28 2m 3 3 12 S x x 2 4S 8 (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét: 1 2 m m m m 4 4 12 P x x 1 3P 3 (2) 1 2 m m m
11. 11 Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x 1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m). Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước. +) Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: - Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức là cho 0 hoặc ' 0 ). x1 x2 S f (m) - Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: (I) . x1x2 P g(m) - Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m. - Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời. +) Ví dụ 1. Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0. a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m. Giải a) Phương trình có nghiệm ' 0 m 1 2 7m2 0 (đúng với mọi m). Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm. b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình. 2 1 m x1 x2 S Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 7 . (I) m2 x x P 1 2 7 2 2 2 Theo bài, ta có hệ thức: x1 x2 = x1 x2 2x1x2 (II). Thay (I) vào (II), ta có: 2 2 1 m 2 2 2 2 m 18m 8m 4 . x1 x2 2. 7 7 49 +) Ví dụ 2. Cho phương trình x 2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4 . Giải
12. 12 Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi: ' 0 3 2 m 9 m 0 m 9. x1 x2 6 (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 m (2) Theo bài: x1 x2 4 (3). Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1 10 x1 5 x2 6 x1 6 5 1. Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m m = 5 (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = 5 thì x1 x2 4 . +) Ví dụ 3. Cho phương trình: x 2 - 2(m +1)x + 2m = 0 (1) (với ẩn là x ). a) Giải phương trình (1) khi m =1. b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Giải a) Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 . Giải phương trình được x1 2 2; x2 2 2 b) Ta có ' m2 1 0 với mọi m. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. +) Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x). a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x1 x2 Giải a) Ta có ' m 1 2 2m 4 m2 2m 1 2m 4 m 2 2 1 0 với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt. x1 x2 2(m 1) 2m 2 (1) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1x2 2m 4 (2) 2 2 2 Theo bài: y = x1 x2 = x1 x2 2x1x2 (3) Thay (1) và (2) vào (3), ta có: y = 2m 2 2 2 2m 4 4m2 12m 12 2m 3 2 3.
13. 13 2 Vì 2m 3 2 0 với mọi m nên suy ra y = 2m 3 3 3. 3 3 Dấu “=” xảy ra 2m 3 0 m . Vậy ymin = 3 m 2 2 Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm. +) Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x 1, x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) dựa trên kết quả: - Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c<0 0 ' 0 - Phương trình có hai nghiệm cùng dấu . P 0 0 ' 0 - Phương trình có hai nghiệm dương P 0 . S 0 0 ' 0 - Phương trình có hai nghiệm âm P 0 . S 0 +) Ví dụ 1. Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + 1 = 0. Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hai nghiệm dương phân biệt. Giải c a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu P 1 m 0 m 1 a Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x1 x2 ' 0 m2 3m 0 P 0 1 m 0 0 m 1. S 0 2 m 1 0 Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. +) Ví dụ 2. Cho phương trình mx 2 - 6x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
14. 14 Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 x2 0 m 0 a 0 9 m2 0 m 0 ' 0 m 3 m 3 0 3 m 0. P 0 m 1 0 S 0 6 m 0 0 m Vậy với 3 m 0 thì phương trình có hai nghiệm âm. III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI 1) Hiệu quả kinh tế Từ việc áp dụng thành công sáng kiến vào thực tiễn, chúng tôi nhận thấy học sinh đã tiết kiệm được rất nhiều thời gian trong việc học bài và làm bài ở trên lớp cũng như ở nhà. Các em học sinh đã chủ động, sáng tạo phát huy được phẩm chất năng lực của mình thông qua việc hoàn thành các nhiệm vụ của giáo viên giao. 2) Hiệu quả về mặt xã hội Niềm tin, sự ủng hộ của phụ huynh và các em trong việc áp dụng sáng kiến đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và chất lượng của việc dạy học môn Toán nói riêng. Các em học sinh tự tin, sáng tạo hơn trong học tập, yêu thích môn Toán từ đó chất lượng môn học ngày càng được nâng cao và bền vững.Vì vậy: a) Đối với người thầy - Phải nỗ lực vượt khó, phải nắm vững kiến thức trọng tâm để có đủ năng lực xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập dẫn dắt một cách khoa học; - Phải nắm vững một số kỹ thuật để soạn bài và dạy theo con đường trực quan phân tích; - Người thầy phải nắm bắt kịp thời theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy nhất là ở giai đoạn đổi mới phương pháp dạy học; -Tham khảo các tài liệu có liên quan đến bài giảng, thường xuyên củng cố và nâng cao chuyên môn nghiệp vụ; - Giảng dạy phải tường minh, chính xác các kiến thức cơ bản của toán học. Nghiên cứu kỹ chính xác được rõ mục tiêu của từng bài để xây dựng phương pháp giảng dạy cho phù hợp; - Khuyến khích động viên học sinh, khen chê kịp thời, đúng lúc. Chú ý giúp và phân công học sinh khá, giỏi giúp đỡ các em có học lực trung bình, yếu nắm được kiến thức cơ bản, mở rộng kiến thức cho học sinh khá, giỏi.
15. 15 b) Đối với trò: - Học sinh phải thật sự nỗ lực, kiên trì, vượt khó và phải thực sự hoạt động trí óc, phải có óc phân tích một bài toán, biết nắm vững đặc thù của các bài toán để có thể đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách giải; - Phải cần cù chịu khó, ham học hỏi, sử dụng sách tham khảo vừa sức, hiệu quả; - Học đi đôi với hành để củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản của toán học. - Học bài và làm bài tập ở trên lớp cũng như ở nhà phải có tinh thần tự lực tự cường đồng thời phải thấy được đó là quyền lợi và nghĩa vụ của mỗi học sinh. Bởi vì công việc này không ai có thể học thay, làm thay được. Do đó muốn đạt kết quả cao trong học tập thì ai cũng phải làm bài tập. Nếu chăm chỉ học tập cùng với sự giúp đỡ, hướng dẫn của thầy cô giáo và bạn hữu thì chắc chắn rằng các em sẽ học hành tiến bộ. Nếu có sự tiến bộ trong học tập thì đó là động lực thúc đẩy tinh thần phấn khởi say mê, ham thích học toán và có lòng đam mê, tình yêu toán học nghĩa là “Cái gì thuộc về con người thì không xa lạ đối với chúng tôi”; - Với phương pháp thực hiện như trên học sinh được tự tìm ra kiến thức cần biết một cách độc lập tích cực. Do đó học sinh hứng thú, hiểu bài sâu sắc từ đó vận dụng tốt. Qua dạy đối chứng và kiểm nghiệm bằng kiểm tra trắc nghiệm tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên một cách rõ rệt. Số học sinh yêu thích toán ngày càng nhiều hơn.Từ đó các em có kế hoạch học hỏi thêm ở SGK, ở bạn bè, phát huy duy trì niềm say mê học toán của các em. Học sinh đã biết tự củng cố, ôn luyện các kiến thức bài tập, biết phối hợp các kiến thức đã học vào làm bài tập. 3) Khả năng áp dụng và nhân rộng - Sáng kiến đã được áp dụng từ năm học 2023- 2024 với học sinh lớp 9A, 9B và lớp 9C sau khi áp dụng chất lượng môn Toán qua các kỳ kiểm tra đã được nâng lên rất nhiều. Tỉ lệ điểm mức khá và giỏi chiếm cao. Học sinh yếu đã có ý thức hơn trong việc tham gia các hoạt động học tập với các bạn trong tổ, trong lớp; - Với phương pháp thực hiện như trên học sinh được tự tìm ra kiến thức cần biết một cách độc lập tích cực. Do đó học sinh hứng thú, hiểu bài sâu sắc từ đó vận dụng tốt. Qua dạy đối chứng và kiểm nghiệm bằng kiểm tra trắc nghiệm tôi thấy chất lượng học tập được nâng lên một cách rõ rệt. Số học sinh yêu thích toán ngày càng nhiều hơn.Từ đó các em có kế hoạch học hỏi thêm ở SGK, ở bạn bè, phát huy duy trì niềm say mê học toán của các em. Học sinh đã biết tự củng cố, ôn luyện các kiến thức bài tập, biết phối hợp các kiến thức đã học vào làm bài tập. Cụ thể qua khảo sát: Trước khi áp dụng sáng kiến Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu ( kém) SL % SL % SL % SL %
16. 16 9A 35 3 8,6 8 22,6 11 31,4 13 37,1 9B 36 3 8,3 7 19,4 11 30,2 14 38,9 9C 36 4 11,1 8 22,2 10 22,8 14 38,9 Sau khi áp dụng sáng kiến Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu ( kém) SL % SL % SL % SL % 9A 35 9 25,7 14 40 15 42,9 3 8,3 9B 36 8 22,2 15 41,7 14 38,9 3 8,3 9C 36 10 27,8 16 44,4 14 38,9 2 5,6 - Trên cơ sở phân tích, đối chiếu, so sánh, một lần nữa tôi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm “Luyện bài tập về hệ thức Vi Ét” có khả năng áp dụng rộng rãi cho mỗi giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường THCS. Sáng kiến đã chỉ ra được việc cần thiết phải phân dạng các bài toán về hệ thức Vi-ét và việc ứng dụng của nó đồng thời chỉ rõ các phương pháp cụ thể để thực hiện từng nội dung. Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ, hệ thống, khoa học. Từ đó nâng cao chất lượng cho học sinh không chỉ giới hạn trong việc giải quyết các bài toán về hệ thức Vi-ét mà còn củng cố rèn luyện được nhiều kiến thức toán học khác. Góp phần nâng cao kết quả trong kì thi vào THPT và tạo tiền đề vững chắc cho việc học toán sau này của các em. IV. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền Chúng tôi xin cam kết bản báo cáo sáng kiến trên đây của chúng tôi là không sao chép hoặc vi phạm bản quyền. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Vân Anh ĐỒNG TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Thị Phương Anh Vũ Thị Hồng Hạnh
17. 17 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GD & ĐT