Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc hai và định lí Vi-et

Nội dung tài liệu: Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc hai và định lí Vi-et

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VỤ BẢN TRƯỜNG THCS XÃ LIÊN BẢO BÁO CÁO SÁNG KIẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VI-ÉT Lĩnh vực (mã)/cấp học: Toán (02)/THCS Tác giả: Nguyễn Thị Tươi Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Toán Chức vụ: Tổ trưởng tổ KHTN Nơi công tác: Trường THCS xã Liên Bảo Vụ Bản, tháng 4 năm 2023
2. 2 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: “Phương trình bậc hai và định lí Vi-et” 2. Lĩnh vực (mã)/cấp học: Toán (02)/THCS 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2022 đến tháng 4 năm 2023 4. Tác giả: Họ và tên: Nguyễn Thị Tươi Năm sinh: 1981 Nơi thường trú: Liên Bảo – Vụ Bản – Nam Định Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Toán Chức vụ công tác: Tổ trưởng tổ KHTN Nơi làm việc: THCS xã Liên Bảo Điện thoại: 0384198936 Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100 % 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THCS xã Liên Bảo Địa chỉ: Liên Bảo – Vụ Bản – Nam Định Điện thoại: 02283820542
3. 3 I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Hoà chung với sự ra đời và phát triển các bộ môn khoa học, môn toán được ra đời rất sớm. Do nhu cầu thực tế của cuộc sống đã làm nảy sinh các kiến thức toán học. Toán học đã góp phần không nhỏ vào sự phát triển các bộ môn khoa học tự nhiên. Đồng thời toán học còn thúc đẩy sự phát triển của các bộ môn khoa học xã hội. Có thể nói toán học là cơ sở của nhiều bộ môn, nhiều ngành khoa học. Vì vậy việc nâng cao kiến thức toán học cho học sinh là rất cần thiết và việc dạy toán trong nhà trường là việc không thể không nói đến. Là một giáo viên giảng dậy bộ môn toán ở trường THCS, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đối với chương trình đại số lớp 9, chuyên đề ‘‘Phương trình bậc hai và định lý Vi-et’’ rất quan trọng, nó làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chuyên đề khác như: các dạng toán về phương trình quy về phương trình bậc hai, hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, chứng minh biểu thức, toán cực trị Không những thế nó còn là nền tảng không thể thiếu được cho việc học đại số sơ cấp cho học sinh từ lớp 10 trở lên. Là một giáo viên trược tiếp giảng dạy và ôn luyên thi vào THPT cho học sinh lớp 9. Đối với chuyên đề này tôi thấy nên phân rõ dạng bài tập và chọn hệ thống với mức độ tăng dần cho từng dạng toán đặc biệt là các giải cho từng dạng toán này để giúp học sinh rèn kĩ năng tư duy, từ đó giải được các bài tập thuộc chuyên đề này. Hệ thống bài tập về ‘‘Phương trình bậc hai và định lý Vi-et” trong SGK và sách bài tập đã đề cập đến những kiến thức rất cơ bản song vẫn còn rất nhiều khó khăn cho việc rèn kĩ năng đối với học sinh ôn luyện thi vào THPT. Do vậy trong sáng kiến này xin phép được cho ra một hệ thống các bài tập có phân dạng và phương pháp giải cho từng dạng tạo điều kiện cho giáo viên giảng dạy môn toán thật sâu hơn thật đủ các dạng bài tập về phương trình bậc hai và định lý Vi- et đồng thời giáo viên có thể sử dụng đề tài này để bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9.
4. 4 II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP 1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến Là một giáo viên dạy 9 nhiều năm tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 9 (kể cả học sinh có năng lực) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết về phương trình bậc hai và định lí viet để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập học sinh còn lúng túng nhiều. Từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình thường đến những bài toán khó. Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức về phương trình bậc hai và định lí viet, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 8B (lớp tôi trực tiếp giảng dạy) ra đề bài một số dạng toán về phương trình bậc hai và định lí viet và thấy kết quả như sau: Số HS biết Số HS Số học sinh Số HS không thể hướng nhưng Lớp được giải được giải được không giải được khảo sát SL % SL % SL % 8B 34 8 23,5 12 35,3 14 41,2 Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở và băn khoăn. chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu sáng kiến này nhằm tìm ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải bài tập về phương trình bậc hai và định lí viet. 2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến 2.1. Mục đích ý nghĩa cho việc dạy giải bài tập toán - Bài tập toán giúp cho học sinh củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản có hệ thống theo phương pháp tinh giản dễ hiểu. - Bài tập về "Phương trình bậc hai và định lý Viet" nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng thực hành giải toán về " Phương trình bậc hai và định lý Viet". Rèn luyện cho học sinh các phương pháp tư duy: Phân tích, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương tự,
5. 5 - Rèn luện cho học sinh các năng lực về hoạt đông trí tuệ để có cơ sở tiếp thu các môn học khác. 2.2. Các yêu cầu của việc lựa chọn hệ thống bài tập 1. Hệ thống bài tập đưa ra phải đầy đủ hợp lý: phải làm cho học sinh nắm vững bản chất của các kiến thức đã học rèn luyện khả năng suy luận. Các dạng bài tập được đề cập từ đơn giản đến phức tạp trong đó có những bài tập mang nội dung thực tế. 2. Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính mục đích của việc dạy học - Hệ thống bài tập được lựa chọn phải củng cố khắc sâu được kiến thức cơ bản vì kiến thức cơ bản là cơ sở để giải quyết những vấn đề kiến thức khác có liên quan. Có nắm vững kiến thức cơ bản thì học sinh mới biết vận dung liên hệ vào thực tế - Hệ thống bài tập phải đảm bảo trang bị cho học sinh kiến thức một các có hệ thống, chính xác để góp phần vào việc rèn luyện kĩ năng kĩ xảo cho học sinh. - Hệ thống bài tập được chọn phải có tác dụng giáo dục tư tưởng và có ảnh hưỏng tốt đối với học sinh. Thấy rõ vai trò và tầm quan trọng của toán học trong thực tiễn làm cho học sinh yêu thích môn toán có hứng thú và say mê học tập. 3. Hệ thống bài tập phải đảm bảo yêu cầu vừa sức phù hợp với từng loại đối tượng, phải đảm bảo cho học sinh thấy cần và có khả năng giải được bài tập đó. Vì vậy khi chọn bài tập phải chú ý đến đối tượng. 4. Hệ thống bài tập phải đảm bảo cân đối về thời gian, với hoàn cảnh quy định của chưong trình sao cho học sinh phải nỗ lực mới hoàn thành được. Đồng thời giao cho học sinh những bài tập có gắn với thực tiễn. 5. Bài tập phải phát huy được trí tuệ năng lực tư duy của học sinh qua việc giải toán. 2.3. Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập 1. Phải căn cứ vào mục đích dạy học 2. Dựa vào tình hình dạy học ở trường THCS 2.4. Một số kiến thức cơ bản và kĩ năng cần thiết khi học về phương trình bậc hai và định lí Vi-et
6. 6 1. Điều kiện để biểu thức có nghĩa 2. Các quy tắc tính toán về các biểu thức đại số. 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. 4. Phương pháp giải bất phương trình PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIET I. LÍ THUYẾT CHUNG 1. Định nghĩa 1.1 -Phương trình bậc hai một ẩn số có dạng ax2 bx c 0 .Trong đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số; a 0 -Nghiệm của phương trình bậc hai là những giá trị của x ần số mà khi thay vào vế trái của phương trình ta được vế trái bằng 0 1.2: Giải và biện luận phương trình bậc hai -Khi nghiên cứu về số nghiệm của phương trình bậc hai ax2 bx c 0 (a 0) cần quan tâm tới biệt số của phương trình Ta thấy các khả năng sau đây 1, 0 Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x 1,2 2a Đặc biệt khi b chẵn b 2 b, ta có thể tìm nghiệm của phương trình bậc hai qua biệt số , b ,2 ac 1, , 0 Phương trình bậc hai vô nghiệm b, 2, , =0 Phương trình bậc hai có hai nghiệm kép x x 1 2 2a b , 3, , >0 Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt x 1,2 2a Chú ý: Nếu a,c trái dấu nghĩa là ac<0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Với các phương trình khuyết thiếu ta cũng có thể giải bằng (hoặc , )
7. 7 nhưng nó sẽ cồng kềnh vì thế ta không nên giải các phương trính đó theo biệt số hay , mà sử dụng phương trình tích để giải. 2. Định lí Vi-et 2 Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 ( a 0) có hai nghiệm số x1, x 2 thì b x x 1 2 a c x. x 1 2 a 3. Ứng dụng của hệ thức Vi-et +Đối với những phương trình đơn giản ta thể sử dụng hệ thức Vi-et để nhẩm nghiệm. Đặc biệt c -Nếu a+b+c=0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1, x 1 2 a c -Nếu a-b+c=0 thì phương trình bậc 2 có hai nghiệm x 1; x 1 2 a +Dùng định lí Viet có thể tìm được 2 số khi biết tổng và tích của chúng Nếu x1+x2=S x1.x2=P 2 x1,x2 là nghiệm của phương trình X -SX+P=0 Từ đó ta cũng có thể lập được phương trình khi biết trước nghiệm của chúng +Dựa vào định lí Viet chúng ta có thể khảo sát tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 -Phương trình bậc 2 có 2nghiệm trái dấu 0 0 c x1.x2<0 0 a,c trái dấu a vì thế ta chỉ cần ac<0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu -Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm đối nhau c x1.x2<0 0 a
8. 8 b x1+x2=0 hay 0 a -Phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số dương có giá trị c 0 tuyệt đối lớn hơn khi : a b 0 a -Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm trái dấu nhưng nghiệm số âm có giá trị c 0 tuyệt đối lớn hơn khi : a b 0 a -Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi : 0 b 2 4ac 0 hay c 0 x1.x2 0 a .Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng dương: b 2 4ac 0 0 c xx 0 hay 0 21 a x x 0 1 2 b 0 a .Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm: b 2 4ac 0 0 c xx 0 hay 0 21 a x x 0 1 2 b 0 a Nhờ định lí Viet mà ta có thể làm được các bài tập liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Dạng toán 1: Giải và biện luận phương trình Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 bx c 0 (1) Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m *a = 0 vớimột vàigiáitrịnào đó của m
9. 9 giả sử a = 0 m=mo Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0 (2) Nếub=0,c=0(vớim=mo) phương trình (2) vô định phương trình (1) vô định Nếub= 0,c 0(vớim=mo) phương trình (2) vô nghiệm phương trình (1) vô nghiệm. * a 0 lập biệt số b2 4 ac hoặc ' b '2 ac ( Nếu b = 2 b’) Nếu 0 phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt b b'' x hoặc x 1,2 2a 1,2 a b b' Nếu 0 phương trình (1) có nghiệm kép x x hoặc x x 1 2 2a 1 2 a Nếu 0 phương trình (1) vô nghiệm. Tóm tắt phần biện luận Ví dụ 1: Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình: ( 2m – 1) x2 –2(m+4)x +5m+2=0(1) 1 Ta thấy: Với 2m – 1 = 0 m phương trình (1) trở thành 2 1 1 2( 4)x 5. 2 0 2 2 9 9x 0 2 1 x 2 1 Với 2m -1 0 m 2 '(m 4) 2 (2 m 1)(5 m 2) m28 m 16 10 m 2 5 m 4 m 2 9m2 9 m 18 9(m2 m 2) 9(m 1)( m 2)
10. 10 m 1 0 9(m 1)( m 2) 0 m 2 m 1 Nếu 1 1 m m 1 m 2 2 2 m 2 Phương trình (1)vô nghiệm 0 9(m 1)( m 2) 0 m 1 + Nếu 1 1 m m m 2 2 2 m 4 Phương trình (1) có nghiệm kép x x 1 2 2m 1 3 Với m = -1 x x 1 1 2 3 6 Với m = 2 x x 2 1 2 3 0 9(m 1)( m 2) 0 1 m 2 Nếu 1 1 1 m m m 2 2 2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: m 4 3 ( m 1)( m 2) x 1 2m 1 m 4 3 ( m 1)( m 2) x 2 2m 1 1 1 Kết luận: +Với m phương trình (1) có nghiệm x 2 2 m 1 + Với phương trình (1) vô nghiệm m 2 + Với m 1 phương trình (1) có nghiệm kép x1 x 2 1 + Với m 2 phương trình (1) có nghiệm kép x1 x 2 2 1 m 2 + Với 1 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt m 2 m 4 3 ( m 1)( m 2) x 1 2m 1 m 4 3 ( m 1)( m 2) x 2 2m 1
11. 11 Ví dụ 2: Cho Phương trình: x2 +3x – m = 0 Tìm m để phương trình có nghiệm b2 4 ac 9 4 m 9 Để phương trình có nghiệm thì: 0 4m 9 m 4 9 Vậy phương trình có nghiệm với mọi m 4 Ví dụ 3: Cho phưong trình (m – 1)x2-2(m+1)x+(m–2)=0(1)(mlàthamsố). Tìm m để a. Phương trình có hai nghiệm phân biệt b. Phương trình có nghiệm kép ? c. Phương trình vô nghiệm? d. Phương trình có nghiệm duy nhất? Giải a. Phương trình có (1) có 2 nghiệm phân biệt: m 1 0 ' 0 m – 1 0 m 1 '0 (m 1) 2 ( m 1)( m 2) m2 2 m 1 m 2 2 m m 2 0 5m 1 0 1 m 5 1 Vậy với m ; m 1 thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt 5 b. Phương trình có nghiệm kép: m 1 m 1 0 m 1 ' 1 0 5m 1 0 m 5 Vậy m= 1/5 Pt(1) có nghiệm kép c. Phương trình vô nghiệm
12. 12 +m- 1 =0 Phương trình đã trở thành -4x – 1 = 0 x=- ¼(loại) 1 + m 1 0 m 1để PT (1)vô nghiệm ' 0 m 5 1 Vậy với m phương trình (1) vô nghiệm 5 d,Phương trình có nghiệm duy nhất : 1 + m 1 0 m 1 phương trình trở thành 4x 1 0 x 4 1 + m 1 0 m 1 phương trình có một nghiệm duy nhất ' 0 m 5 1 Vậy với m=1 hoặc m phương trình có nghiệm duy nhất 5 2. Dạng 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2 Ví dụ :Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm x 2 2 3 x 6 0 a, 2 2 3 4 6 2 3 5 0 Theo hệ thức Viet ta có x 2 x x 2 3 1 1 2 xx 21 6 x2 3 b, 3x 2 3 2m x 2m 0 Ta có a-b+c = 3-3+2m-2m=0 2m x ;1 x 1 2 3 c, m 1 x 2 2m 1 x m 2 0 Nếu m-1 0 m 1.Ta có a+b+c=m-1-2m-1+m+2=0 m 2 Phương trình có nghiệm x ;1 x 1 2 m 1 Nếu m=1.Phương trình có nghiệm x=1 Nhận xét : Khi nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ax2 bx c 0 ( a 0) c -Nếu a+b+c=0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm x 1, x 1 2 a
13. 13 c -Nếu a-b+c=0 thì phương trình bậc 2 có hai nghiệm x 1; x 1 2 a -Nếu không thỏa mãn 2 vấn đề trên thì ta tính xem phương trình có nghiệm không .Nếu phương trình có nghiệm ta có b x x 1 2 a c x. x 1 2 a c b Ta đưa : về dạng n.m;và về dạng m+n .Thì x1=m;x2=n a a Khi giải toán nhẩm nghiệm h/s thương mắc sai lầm +Hs sẽ dùng công thức nghiệm để tính +không xét điều kiện có nghiệm của phương trình đã có x1+x2=S;x1.x2=P +Không xét điều kiện tồn tại của phương trình bậc 2 3. Dạng 3: Xét dấu các nghiệm của phương trình bâc 2 Ví dụ: Không giải phương trình hãy xét dấu các nghiệm của phương trình a,4x2+3x-1=0 Ta có a.c = 4.(-1)=-4 0 theo hệ thức vi-et ta có 13 x x 0 1 2 7 2 xx 0 21 7 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dương Nhận xét :Hs thường mắc sai lầm chưa tìm điều kiện để phương trình có nghiệm đã áp dụng định lí viet hoặc hs có thể giải phương trình tìm nghiệm rồi xét dấu 4. Dạng 4: Xác định hệ số của phương trình theo điều kiện cho trước 1,Phương pháp giải -Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : 0 -Viết hệ thức viet
14. 14 - Xử lí hệ thức đề bài cho tìm m -Kiểm tra lại giá trị của tham số rồi kết luận 2, Ví dụ : 2 Ví dụ 1 Xác định m để phương trình x 2x m 0 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 2x2 1 Giải: Phương trình có nghiệm ' 1 m 0 m 1 Theo hệ thức viet ta có x1 x2 2 xx 21 m x x 2 )1( Kết hợp vớigiả thiết ta có 1 2 xx 21 m )2( 3x1 2x2 1 )3( Từ (1) và (3) tìm được x1 ;5 x2 7 Thay x1 ;5 x2 7 vào (2) ta được m=-35 thoả mãn điều kiện Vậy m phải tìm là m=-35 Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x2 4x m 2 0 có hai 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: x1 4x 2 15. x2 4x m 2 0 1 ' 4 m 2 6 m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khi m < 6 Theo hệ thức viet ta có x1 x 2 4 (2) 2 Từ x1 là nghiệm của phương trình , viết được x1 4x 1 m 2 0 2 x1 4x 1 m 2 (3) 2 Từ (2), (3) và x1 4x 2 15, tìm được 16 m 2 15 m 3 (tm) Vậy m=3 là giá trị cần tìm 5. Dạng 5: Xác định giá trị tham số khi biết một nghiệm và tìm nghiệm còn lại 1,Phương pháp giải + -Thay nghiệm đã biết vào phương trình suy ra phương trình chứa tham số -Giải phương trình chứa tham số -Kết luận
15. 15 +,Tìm nghiệm còn lại dựa vào một nghiệm đã biết, giá trị vừa tìm của tham số và tổng hoặc tích 2 nghiệm để suy ra nghiệm còn lại 2,Ví dụ :Cho phương trình 2x 2 mx 5 0 a, Tìm giá trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng 1 tìm nghiệm còn lại b, Tìm già trị của m để một trong các nghiệm của phương trình bằng -1 tìm nghiệm còn lại Giải a,Phương trình có một nghiệm bằng 1 nên ta có 2+m-5=0 m 3 Vậy m phải tìm là m=3 5 Nghiệm còn lại là x 2 2 5 b ,Tương tự có m=-3; x 2 2 6. Dạng 6: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng 1, Phương pháp giải - Từ hệ thức cho trước của 2 số ta tìm S( tổng của 2 số ),P(tích của 2 số) - Hai số phải tìm là nghiệm của phương trình X 2 S.X P 0 - Giải phương trình - Kết luận 2,Ví dụ : tìm 2 số x,y trong các trường hợp sau a, x+y=11 ; x.y=28 b, x-y=5 ; x.y=66 c, x2+y2=25 ; x.y=12 Giải a, Hs dễ dàng tìm được x=7;y=4 hoặc x=4;y=7 b,Đặt Y=-y ta có x+Y=5 và x.Y=-66 2 số x;Ylà nghiệm của phương trình X2-5X-66=0 Giải phương trình ta được X1=-6;X2=11 suy ra x=-6,Y=11 hoặc x=11;Y=-6
16. 16 Vậy có 2 cặp (x;y)thoả mãn là (-6;-11);(11;6) c, Hs tự giải 7. Dạng 7: Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm của nó 1, Phương pháp giải -tính tổng 2 nghiệm (S),tích 2 nghiệm (P) - Phương trình phải lập là X2-SX+P=0 2,Ví dụ :Lập phương trình bậc 2 có hệ số nguyên và có 1 nghiệm là 3 5 3 5 Giải 3 5 ( 3 5 ) 2 8 2 15 Ta có x1= = 15 4 3 5 2 2 Ta chọn nghiệm thứ 2 sao cho x1+x2 và x1.x2 đều là các số nguyên Chọn x2= 15 4 Khi đó S=x1+x2 =-8;P=x1.x2 =1 Vậy phương trình phải lập là x2+8x+1=0 8. Dạng 8: Tìm hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 không phụ thuộc vào tham số 1, Phương pháp giải -Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm: 0 -Từ hệ thức viet tìm S,P theo tham số m -Khử tham số m từ S,P để có hệ thức giữa S,P (tức là hệ thức giữa x1; x2 ) không phụ thuộc vào tham số m 2, Ví dụ : Giả sử x1; x2 là nghiệm của phương trình x 2 2 m 1 x m 2 1 0 Tìm hệ thức giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình có nghiệm ' m 1 2 m 2 1 2m 2 0 m 1
17. 17 Áp dụng hệ thức viet ta có S=2.(m-1) (1) P=m2-1 (2) S 2 Từ (1) m Thay vào (2) ta được : 2 S 2 P=( ) 2 1 4P S 2 4S 2 2 Vậy hệ thức cần tìm là x1 x2 4 x1 x2 4 xx 21 9. Dạng 9: So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước 1, Phương pháp giải : -Tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm -Áp dụng hệ thức viet tính tổng và tích 2 nghiệm -Biến đổi điều kiện đã cho để thay tổng và tích vào điều kiện này dược bất phương trình ẩn là tham số -Giải bất phương trình của bước 3 -Kết luận 2, Ví dụ:Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 11 0 a,Tìm điều kiện của m để phương trình có 1 nghiệm lớn hơn 1 và 1 nghiệm nhỏ hơn 1 b, Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 2 Giải Ta có ' m 1 2 2m 11 m 2 12 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có nghiệm x1; x2 x x 2m 2 Theo hệ thức viet ta có 1 2 xx 21 2m 11 a,Phương trình có 1 nghiệm nhỏ hơn 1 và 1 nghiệm lớn hơn 1 x1 .1 x2 1 0 xx 21 x1 x2 1 0 2m 11 2m 2 1 0 4m 8 m 2 Vậy m phải tìm là m<2
18. 18 b,Phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn 2 x1 2 x2 2 0 x1 2 x2 2 0 x1.x2-2.(x1+x2)+4>0 x1+x2-4 0 -2m-2-4 2 m>-3 1 m> 2 1 Vậy với m> thì phương trình có 2 nghiệm đều nhỏ hơn 2 2 MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải và biện luận phương trình: m 2 x 2 2 m 1 x m 0 Bài 2: Cho phương trình m 1 x 2 2 m 1 x m 0 (m là tham số) a,Xác định m để phương trình có nghiệm kép .Tính nghiệm kép đó b,Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm Bài 3: Cho phương trình x 2 2 m 1 x m 5 0 a, Xác định m để phương trình có 1 nghiệm x=-1 .Tìm nghiệm còn lại b,Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 2 2 c, Với giá trị nào của m thì x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất ?Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 4:Cho phương trình x 2 2 m 1 x m 4 0
19. 19 a,Giải phương trình với m=1 b,Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m c,Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình đã cho .Chưng minh rằng biểu thức A= x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào giá trị của m Bài 5:Cho phương trình x 2 2 m 1 x m2 3m 4 0 a,Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn 1 1 1 x1 x2 b,Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 độc lập với Bài 6:Cho phương trình x 2 m 1 x m 0 (1) a,Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm t1 1 ;tx 21 1 x2 b,Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1<1<x2 Bài 7:Cho phương trình 1 x 2 2mx m2 0 (1) 2 a, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối băng nhau b, Tìm m để phương trình (1) có nghiệm và các nghiệm ấy là số đo 2 cạnh góc vuông của 1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 Bài 8:Cho hai phương trình 2x 2 mx 1 0 mx 2 x 2 0 Với giá trị nào của m thì 2 phương trình trên có chung 1 nghiệm III. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN 1. Hiệu quả về mặt kinh tế:
20. 20 Chuyên đề “Phương trình bậc 2 và định lí Vi-et” tôi đã trình bày và trao đổi với nhóm toán của trường, đồng thời giảng dạy trực tiếp cho học sinh hằng năm. Để áp dụng nó không hề mất một khoản chi phí nào, chỉ cần giáo viên có lòng yêu nghề và bố trí thời gian hợp lí để nghiên cứu và áp dụng sẽ đạt được hiệu quả rõ rệt. 2. Hiệu quả về mặt xã hội: Sau một thời gian giảng dạy tôi nhận thấy kết quả của sáng kiến này đã có hiệu quả đáng ghi nhận. - Điều trước tiên tôi nhận thấy là học sinh hăng say học tập trong giờ lên lớp. Các dạng bài tập liên quan đến phương trình bậc hai và hệ thức viet không còn là điều đáng ngại nữa. - Với đề tài này trước hết tôi cho học sinh hiểu rõ phần lí thuyết, chỉ ra các dạng bài tập.Tôi đã cho học sinh khai thác bài tập để phát triển thành các bài tập mới.Từ đó học sinh qui những bài tập lạ về những bài tập quen thuộc để giải. Và tôi nhận thấy học sinh tự tin trong việc tiếp thu kiến thức, vận dụng làm bài tập. - Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc song với sự gợi ý của tôi hầu hết các em đã tìm ra hướng giải quyết và làm bài tập. Các bài nâng cao đã trở nên dễ dàng hơn với các em. - Để khẳng định kết quả một lần nữa tôi đã tiến hành khảo sát lớp 9B.Kết quả khảo sát như sau: Số HS biết Số HS Số học sinh Số HS không thể hướng nhưng Lớp được giải được giải được không giải được khảo sát SL % SL % SL % 8B 34 26 76,4 4 11,7 4 11,7 Kết quả thu được của sáng kiến này đã đem lại cho giáo viên giảng dạy vững vàng trong kiến thức, đem lại cho học sinh một phương pháp tư duy toán học quan trọng khi tiếp thu lĩnh hội các mảng kiến thức khác. Chính vì thế triển vọng của sáng kiến là rất bổ ích với người học.
21. 21 Trong quá trình giảng dạy và học tập từ các bạn đồng nghiệp. Bản thân tôi thấy mình đã được bổ sung nhiều kiến thức khoa học về bộ môn toán và biết được phương pháp nghiên cứu khoa học và tiếp thu được nhiều bổ ích thiết thực cho quá trình công tác giảng dạy của bản thân . Trong sáng kiến này tôi đã cố gắng tìm tòi và chọn ra các dạng bài tập mang tính điển hình về kiến thức và kĩ năng để giảm bớt những khó khăn cho học sinh trong quá trình học tập. Trên cơ sở hệ thống bài tập và các dạng toán, kết hợp với các tài liệu tham khảo và sự phấn đấu học tập của mỗi người chắc chắn chúng ta sẽ thành công trong học tập về chuyên đề này . IV. CAM KẾT KHÔNG SAO CHÉP HOẶC VI PHẠM BẢN QUYỀN Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này là do bản thân thực hiện và không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác để làm sản phẩm của riêng mình. Tôi biết sáng kiến của mình mới chỉ là một số giải pháp nhỏ mà tôi đã và đang áp dụng trong quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS xã Liên Bảo. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của ban lãnh đạo và các bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Liên Bảo, ngày 15 tháng 4 năm 2023 Người viết Nguyễn Thị Tươi
22. 22 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - UBND huyện Vụ Bản - Trường THCS xã Liên Bảo Tôi tên là: Nguyễn Thị Tươi; Sinh ngày: 12/02/1981; Nơi công tác: Trường THCS xã Liên Bảo; Chức danh: Tổ trưởng tổ KHTN; Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán. Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: "Phương trình bậc hai và định lý Vi-et". - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học THCS. - Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 20/8/2022 - Mô tả bản chất của sáng kiến: Cung cấp, trang bị cho giáo viên dạy môn toán cùng học sinh khá giỏi lớp 9 chuyên đề “Phương trình bậc hai và định lý Vi-et” để nâng cao năng lực cho giáo viên trong việc ôn luyện cho học sinh lớp 9. - Những thông tin cần được bảo mật: Không. - Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: học sinh khối 9 - Đánh giá lợi ích do sáng kiến mang lại theo ý kiến của tác giả: Kết quả thu được của đề tài này đã đem lại cho giáo viên giảng dạy vững vàng trong kiến thức, đem lại cho học sinh một phương pháp tư duy toán học quan trọng khi tiếp thu lĩnh hội các mảng kiến thức khác. - Đánh giá lợi ích thu được theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử: Sáng kiến áp dụng mang lại hiệu quả là nâng cao chất lượng dạy học môn Toán học trong nhà trường. Tôi xin cam đoan mọi thông tin trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật.
23. 23 Liên Bảo, ngày 10 tháng 5 năm 2023 Người làm đơn Nguyễn Thị Tươi